反三角函数，也被称为逆三角函数，是三角函数的反函数。它们用于确定角度值，给定一个特定的三角比（正弦、余弦或正切）。在数学中，反三角函数包括反正弦（Arcsin）、反余弦（Arccos）和反正切（Arctan），这些函数通常表示为 \( \sin^{-1}x \)，\( \cos^{-1}x \) 和 \( \tan^{-1}x \)。
反正弦函数 (Arcsin)
反正弦函数 \( y = \arcsin(x) \) 的定义是：对于任意实数 \( x \) 在区间 \([-1, 1]\) 内，如果 \( \sin(y) = x \)，则 \( y = \arcsin(x) \)。其值域为 \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)。
主要公式:
- \( \sin(\arcsin(x)) = x \)
- \( \arcsin(-x) = -\arcsin(x) \)
反余弦函数 (Arccos)
反余弦函数 \( y = \arccos(x) \) 的定义是：对于任意实数 \( x \) 在区间 \([-1, 1]\) 内，如果 \( \cos(y) = x \)，则 \( y = \arccos(x) \)。其值域为 \([0, \pi]\)。
主要公式:
- \( \cos(\arccos(x)) = x \)
- \( \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) \)
反正切函数 (Arctan)
反正切函数 \( y = \arctan(x) \) 的定义是：对于任意实数 \( x \)，如果 \( \tan(y) = x \)，则 \( y = \arctan(x) \)。其值域为 \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)。
主要公式:
- \( \tan(\arctan(x)) = x \)
- \( \arctan(-x) = -\arctan(x) \)
基本关系
- \( \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \)
- \( \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} \) （当 \( x > 0 \)）
了解这些基本的反三角函数及其性质对于解决涉及角度计算的问题至关重要。在工程学、物理学以及计算机科学等多个领域都有广泛的应用。
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