线性回归是一种广泛应用于数据分析和预测的经典统计方法，其核心目标是通过构建一个数学模型来描述自变量（特征）与因变量之间的线性关系。线性回归方程的公式为：
\[ Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon \]
其中：
- \( Y \) 表示因变量（目标值）；
- \( X \) 表示自变量（特征值）；
- \( \beta_0 \) 是截距项，表示当 \( X=0 \) 时 \( Y \) 的值；
- \( \beta_1 \) 是斜率，表示 \( X \) 每增加一个单位，\( Y \) 预计变化的幅度；
- \( \epsilon \) 是误差项，用于捕捉模型无法解释的随机波动。
线性回归的核心在于寻找最优参数 \( \beta_0 \) 和 \( \beta_1 \)，使得模型能够最好地拟合数据点。这一过程通常采用最小二乘法（Least Squares Method）。最小二乘法的目标是最小化实际观测值与预测值之间的残差平方和，即：
\[ S = \sum_{i=1}^{n}(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2 \]
通过对上述函数求偏导数并令其等于零，可以得到参数 \( \beta_0 \) 和 \( \beta_1 \) 的解析解：
\[ \beta_1 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2} \]
\[ \beta_0 = \bar{y} - \beta_1\bar{x} \]
这里，\( \bar{x} \) 和 \( \bar{y} \) 分别是自变量和因变量的均值。这种方法简单高效，在处理线性关系明确的数据时表现优异。
然而，线性回归也有局限性。例如，它假设自变量与因变量之间存在严格的线性关系，并且要求误差项服从正态分布且具有恒定方差。如果这些假设不成立，则可能需要使用更复杂的非线性模型或调整算法。尽管如此，线性回归因其直观性和易用性，仍然是机器学习入门的重要内容之一。
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